九章算术-第3章
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淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕
又术曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者
九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自
乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若
欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自
乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三
百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千
三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。
淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、
一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何
者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、
六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步
四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。
〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，
下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，
即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与
圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。
故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥
同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，
犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说
圆方诸率甚备，可以验此。〕
今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答
曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，
则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘
矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法
当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚
之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。
宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧
可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割
之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲
有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。
〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，
当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕
问为田几何？答曰：二亩五十五步。
〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕
术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。
〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各
自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕
又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十
二步三分步之二。
〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于
多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。
淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径
八步一百七十六分步之一十三。〕
问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。
〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周
三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕
术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中
周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除
之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。
〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱
有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之
知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合
分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数
除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕
卷二
○粟米（以御交质变易）
粟米之法
〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕
粟率五十大捨迨牡玖�
粝米三十粝饭七十五豉六十三
粺米二十七粺饭五十四飧九十
米二十四饭四十八熟菽一百三半
御米二十一御饭四十二糵一百七十五
小十三半菽荅麻麦各四十五
今有
〔此都术也。凡九数以为篇名，可以广施诸率。所谓告往而知来，举一隅而
三隅反者也。诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏
颇，齐其参差，则终无不归于此术也。〕
术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。
〔少者多之始，一者数之母，故为率者必等之于一。据粟率五、粝率三，是
粟五而为一，粝米三而为一也。欲化粟为米者，粟当先本是一。一者，谓以五约
之，令五而为一也。讫，乃以三乘之，令一而为三。如是，则率至于一，以五为
三矣。然先除后乘，或有余分，故术反之。又完言之知，粟五升为粝米三升；以
分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。以粟求粝米者，以子
乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。
淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“所求之率
常为母”知，脱错也。〕
实如法而一。
今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一。
〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法。此术以粟求米，故
粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，
米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕
今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分
升之十七。
术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。
〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕
今有粟四斗五升，欲为米。问得几何？答曰：为米二斗一升五
分升之三。
术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。
〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之
率，以乘所有之数。所求之率既减半，所有之率亦减半。是故十二乘之，二十五
而一也。〕
今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升五十分升之
九。
术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
今有粟一斗，欲为小。问得几何？答曰：为小二升一十分升之
七。
术曰：以粟求小，二十七之，百而一。
〔淳风等按：小之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，
为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。
他皆仿此。〕
今有粟九斗八升，欲为大。问得几何？答曰：为大一十斗五升
二十五分升之二十一。
术曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。
〔淳风等按：大之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求
米，半其二率。〕
今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。
术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。
〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十
有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕
今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五
分升之二十二。
术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。
〔淳风等按：此术与大多同。〕
今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二
十五分升之一十四。
术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。
〔淳风等按：饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕
今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升
之八。
术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。
〔淳风等按：此术半率，亦与饭多同。〕
今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升二
十五分升之一十四。
术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。
〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲
从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕
今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗三十五分
升之二十四。
术曰：以粟求稻，六之，五而一。
〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕
今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。
术曰：以粟求飧，九之，五而一。
〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕
今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟
