九章算术-第2章
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齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之
三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则
三术同归也。〕
今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。
又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百
二十步九分步之五。
又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：
一亩二百步十一分步之七。
○大广田
〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；
此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕
术曰：分母各乘其全，分子从之，
〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕
相乘为实。分母相乘为法。
〔犹乘分也。〕
实如法而一。
〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘
为法而连除之。〕
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。
又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十
三步六分步之五。
术曰：半广以乘正从。
〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中
平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕
今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
答曰：九亩一百四十四步。
又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。
〔并而半之者，以盈补虚也。〕
今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩
一百三十五步。
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几
何？答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。
〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕
今有圆田，周三十步，径十步。
〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径
九步十一分步之六。〕
问为田几何？答曰：七十五步。
〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕
又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。
〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率，
径五十七步二十二分步之一十三。〕
问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。
〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕
术曰：半周半径相乘得积步。
〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容
六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，
次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥
少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。
以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，
则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推
圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。
不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可
知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故
置诸检括，谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令
半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸，
开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分
母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余
一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之
求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
开方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，
即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之
四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分
弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即
句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。
开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一
尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除
之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次
上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句
幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除
之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺
乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六
觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，
即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，
得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五
十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其
中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五
十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律
嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六
百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微
少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此
分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸
之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得
五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺
二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五
十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，
上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，
数亦宜然，重其验耳。
淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。
用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，
自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，
今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使
锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之
径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆
一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张
其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以
其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于
徽术之下，冀学者知所裁焉。〕
又术曰：周、径相乘，四而一。
〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘
为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十
七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径
以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之
于微多。
淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，
即周。依术求之，即得。〕
又术曰：径自相乘，三之，四而一。
〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令
六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一
百五十七乘之，二百而一。
淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕
又术曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圆径，三与一
