清史稿-第164章
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知两角有一正，则一得度即为不知之边，理亦自明。
六曰三边求角，以所求角旁两边正弦相乘为一率，半径自乘为二率，两边相减馀为较弧，取其正矢与对边之正矢相减馀为三率，求得四率，为所求角正矢。此其理在两次比例省为一次。如图甲壬乙形，求甲角，其正矢为丑丁。法当以甲乙边正弦乙丙为一率，半径乙己为二率，两边较弧正矢乙癸与对边正矢乙卯相减馀癸卯同辛子为三率，求得四率为壬辛。乃以甲壬边正弦戊辛为一率，壬辛为二率，半径己丁为三率，求得四率为丑丁。甲角正矢亦以乘除相报，故从省焉。
七曰三角或锐、或钝求边，以角为边，反求其角；既得角，复取为边；求、取皆与半周相减。此其理在次形，如图甲乙丙形，甲角之度为丁戊，与半周相减为戊己，其度必同于次形子辛午之子辛边，盖丑卯为乙之角度丑点之交，甲乙弧必为正角，丁戊为甲之角度戊点之交，甲乙弧亦必为正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角，则二弧必皆九十度，弧三角之势如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，于是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之馀角既皆为彼形之边，彼形馀角不得不为此形之边，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦为一率，又一角之馀弦为二率，半径为三率，求得四率，为对又一角之边馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角为次形之角，以又一角加减象限为次形对角之边，取象稍异。
凡兹七术，惟边角相求，有锐钝、大小不能定者，然推步无其题，不备列。此七题中求边角有未尽者，互按得之。
橢圆形者，两端径长、两腰径短之圆面。然必其应规，乃可推算。作之之术，任以两点各为心，一点为界，各用一针钉之，围以丝线，末以铅笔代为界之。针引而旋转，即成橢圆形。如图甲己午三点，如法作之，为丑午巳未橢圆，寅丑、寅巳为大半径，寅午、寅未为小半径，寅甲为两心差，己甲为倍两心差。甲午数如寅巳，亦同寅丑，己午如之；二数相和，恆与丑巳同。令午针引至申，甲申、申己长短虽殊，共数不易。甲午同大半径之数如弦，两心差如勾，小半径如股，但知两数，即可以勾股术得不知之一数。若求面积，以平方面率四００００００００为一率，平圆面率三一四一五九二六五为二率，大小径相乘成长方面为三率，求得四率为橢圆面积。若求中率半径，大小半径相乘，平方开之即得。然自甲心出线，离丑右旋，如图至戌，甲丑、甲戌之间，有所割之面积，亦有所当之角度。
角积相求，爰有四术：
一曰以角求积，以半径为一率，所知角度正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为倍两心差之端，垂线如己酉。又以半径为一率，所知角度馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为界度积线，引出之线如甲酉，倍两心差之端垂线为勾自乘。以引出之线，与甲戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和，除之得较。和、较相加折半为己戌弦，与大径相减为甲戌线。又以半径为一率，所知角正弦为二率，甲戌线为三率，求得四率为戌亥边。又以小径为一率，大径为二率，戌亥边为三率，求得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率，半径为二率，辰亥边为三率，求得四率为正弦，对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率，半圆周三一四一五九二六为二率，所得度化秒为三率，求得四率为比例弧线。又以半径为一率，大半径为二率，比例弧线为三率，求得四率为辰丑弧线，与大半径相乘折半，为寅辰丑分平圆面积。又以大半径为一率，小半径为二率，分平圆面积为三率，求得四率为寅戌丑分橢圆面积。乃以寅甲两心差与戌亥边相乘折半，与寅戌丑相减，为甲戌、甲丑之间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角，其法至密。
二曰以积求角，以两心差减大半径馀得甲丑线自乘为一率，中率半径自乘为二率，甲戌、甲丑之间面积为三率，求得四率为中率面积，如甲氐亢。分橢圆面积为三百六十度，取一度之面积为法除之，即得甲戌、甲丑之间所夹角度，此其理为同式形比例。然甲亢与甲氐同长，甲戌则长于甲丑，以所差不多，借为同数。若引戌至心，甲丑甲心所差实多，仍须用前法求甲戌线，借甲戌甲心相近为同数求之。
三曰借积求积，以所知面积，如图之辛甲丑，用一度之面积为法除之，得面积之度。设其度为角度，于倍两心差之端如庚己丑。以半径为一率，己角正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为甲子垂线。又以半径为一率，己角馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为己子分边。甲子为勾自乘，己子与大径相减馀为股弦和，除之得股弦较。和、较相加折半得甲庚线。又以甲庚线为一率，甲子垂线为二率，半径为三率，求得四率为庚角正弦，得度与己角相加为庚甲丑角。乃用以角求积法，求得庚甲丑面积，与辛甲丑面积相减馀如庚甲辛，又用以积求角法，求得度，与庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。
四曰借角求角，以所知面积如前法取为积度，如丑甲丁。设其度为角度，于橢圆心如丁乙辛。以小半径为一率，大半径为二率，所设角度正切为三率，求得四率为丁乙癸角正切。对表得度，乃于倍两心差之端丙作丙丑线，即命丑丙甲角如癸乙丁之角度，乃将丙丑线引长至寅，使丑寅与甲丑等，则丙寅同大径。又作甲寅线，成甲寅丙三角形，用切线分外角法求得寅角，倍之为甲丙丑形之丑角，与丙角相加为丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁积度，为子乙癸角度。即以此度当前之补算辛甲庚者，盖所差无多也。
此四术内凡单言半径者，皆八线表一千万之数。图形尚无资料
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志二十二 时宪三
时宪三
康熙甲子元法上上卷述立法之原，中卷志七政恆星之顺轨，下卷志诸曜相距之数。
日躔立法之原：
一，求南北真线以正面位。用方案极平，作圜数层，植表于圜心取日影。识表末影切圜上者，视左右两点同在一圜联为直线，即正东西；取东西线正中向圜心作垂线，即正南北。于京师以罗针较之，偏东四度馀。乾隆十七年改为二度三十分。
一，测北极高度以定天体。于冬至前后，用仪器测勾陈大星出地之度，酉时此星在北极之上，候其渐转而高，至不复高而止。卯时此星在北极之下，候其渐转而低，至不复低而止。以最高最低之度折中取之，为北极高度。恆星无地半径差，勾陈距地又高，蒙气差亦微，其数确准。以此测得申暎Т涸氨奔呷哦任迨欧秩搿�
一，求地半径差以验地心实高、地面视高之不同。康熙五十四年五月甲子午正，在申暎Т涸安獾锰舾咂呤纫皇至愣ⅲ庇诠愣阒莞獾锰舾呔攀攘懔侄幻胨氖宋ⅰＩ陼＇春园赤道距天顶三十九度五十九分三十秒，广州府赤道距天顶二十三度十分，偏西三度三十三分。时夏至后八日，日躔最高，用平三角形推得地半径与太阳距地心比例，如一与一千一百六十二。又康熙五十五年三月丙申午正，在申暎Т涸安獾锰舾呶迨攘闳秩嗣胍皇ⅲ庇诠愣阒莞獾锰舾吡哦任迨姆至惆嗣肴ⅰＪ贝悍趾蟀巳眨挣鹬芯啵频玫匕刖队胩艟嗟匦谋壤缫挥胍磺б话偎氖Ｄ艘蕴糇罡哂氡咎彀刖侗壤唬耙黄呔哦鞍擞氲匕刖侗壤灰涣龋糇畋坝氡咎彀刖侗壤虐硕捌呔哦氲匕刖侗壤龋靡磺б话俣弧＜鹊萌蘧嗟匦闹叮闷饺切沃鸲冉酝频玫匕刖恫睢�
一，求黄赤距纬以正黄道。康熙五十三年，于申暎Т涸袄鄄庀闹廖缯舾叨龋檬痈咂呤榷欧质琶搿＜拥匕刖恫钗迨耄檬蹈咂呤热帧＜跞ケ镜爻嗟栏呶迨攘闳耄哦榷欧秩耄瞥啻缶唷Ｓ没∪切沃鸲冉酝频镁辔场�
一，求清蒙气差以验地中游气映小为大、升卑为高之数。明万历间，西人第谷于其国北极出地五十五度有奇，测得地平上最大差三十四分。自地平以上，其差渐少，至四十五度，其差五秒，更高无差。其测算之法，如太阳视高十度三十四分四十二秒，距正午八十三度，于时日躔降娄宫三度三十六分，距赤道北一度二十六分。北极距天顶五十度零三十秒，用距正午、距赤道北、北极距天顶三度，作弧三角形，求得太阳实高十度二十七分五十三秒。与视高相减，又加地半径差二分五十七秒，得九分四十六秒，为地平上十度三十五分之蒙气差。本法仍之。
一，测岁实以定平行。康熙五十四年二月癸未午正，于申暎Т涸安獾锰舾呶迨攘闳肴逦ⅲ拥匕刖恫钜环治迨肓阄逦ⅲ檬蹈呶迨攘愣侄嗣胨氖ⅰ４怂拥匕刖恫睿孕路ㄋ闶榫墒又涫档匕刖队胩艟嗟匦谋壤摺⒈啊⒅芯嗳蓿文晔级ǎ餐莆抟欤什桓囊病Ｖ燎蟮匕刖恫睿〈悍旨跋闹梁蟀巳眨嗳跃伤恪Ｆ涫底罡咧蓿廴詹獾茫辉谠ざāＯ闹林芯嘀藜任炊ǎ晔狄嘧勺畋岸闷渥肌Ｗ罡咦畋爸壤蛟诮皇骋病Ｆ涔阒莞鞫龋窍炔庠率呈笨痰弥Ｓ氤嗟栏呶迨攘闳胂嗉酰乓环治迨嗣胨氖ⅲ粼诔嗟辣敝扯取Ｖ悍质痹谖缯埃源宋扯燃盎瞥啻缶嘧骰∪切危频没频蓝人姆治迨呙胨氖ⅲ艄悍志取４稳瘴缯床獾梦扯龋频锰艄悍忠欢攘闼姆至懔肓闳ⅲ焦悍侄认嗉踱盼蝗罩形迨欧至惆嗣攵ⅲ壤帽救沾悍衷谒瘸跞淌姆质胨氖宋ⅰＳ挚滴跷迨迥甓挛熳游缯谏陼＇春园测得太阳高四十九度五十四分四十九秒五十一微，依法求之，得本日春分在申初三刻二分五十五秒四十八微。总计两春分相距三百六十五日五时三刻三分四十五秒，为岁实；为法，除天周，得每日平行。
一，求两心差及最高所在以考盈缩。康熙五十六年二至后，申暎Т涸爸鹑詹馕缯舾叨龋笃渚龋饔帽救沾稳毡炔庵敌小Ｍ频梦逶录仔绯秸豢塘闼氖胨氖逦⒔晃垂叨龋液ニ瘸跻豢淌姆治迨呙攵呶⒔晃垂硕龋辉露〕笞诱豢桃皇治迨呙胨氖晃⒔怀蠊叨龋救找棺映跞淌侄呙胨氖呶⒔怀蠊硕取Ｓ么肆绞粤⒎ǎ缤技孜匦模醋诙煨模冶∥煳频溃胱诙焱模椅闹粒锓郑∥粒煳悍帧Ｓ稚杓旱阄模鞲寥晒锶Γ煌奶欤罡撸被频雷樱晌畋埃被频莱螅芯啵杭琢叫淖鞲笙撸蚱椒直咎煊牖频栏魑桨胫堋Ｏ闹烈抑炼炼。鲆叶∠撸畈煌奶熘蟀氪笥诎胫芩辍Ｇ锓直链悍治欤霰煜撸畈煌奶熘掳胄∮诎胫芩辍＝癫馕垂叨戎脸蠊叨龋话侔耸找皇币皇忠皇胛迨ⅲ笥诎胫芩暌皇币皇叻治迨拿攵ⅲ晃垂硕戎脸蠊硕龋话侔耸找皇氖倍
