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第7章

九章算术-第7章

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物自乘,开方除之,复其本数,故开方除之,即周。〕

今有积一百八十六万八百六十七尺,

〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者,曰立方。〕

问为立方几何?答曰:一百二十三尺。

又有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?答曰:一十二尺半。

又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?答

曰:三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,问为立方几何?

答曰:一百二十四尺太半尺。

开立方

〔立方适等,求其一面也。〕

术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。

〔言千之面十,言百万之面百。〕

议所得,以再乘所借一算为法,而除之。

〔再乘者,亦求为方幂。以上议命而除之,则立方等也。〕

除已,三之为定法。

〔为当复除,故豫张三面,以定方幂为定法也。〕

复除,折而下。

〔复除者,三面方幂以皆自乘之数,须得折、议,定其厚薄尔。开平幂者,

方百之面十;开立幂者,方千之面十。据定法已有成方之幂,故复除当以千为百,

折下一等也。〕

以三乘所得数,置中行。

〔设三廉之定长。〕

复借一算,置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数,且置一算定其位。〕

步之,中超一,下超二等。

〔上方法,长自乘而一折,中廉法,但有长,故降一等;下隅法,无面长,

故又降一等也。〕

复置议,以一乘中,

〔为三廉备幂也。〕

再乘下,

〔令隅自乘,为方幂也。〕

皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除,去三幂之厚也。〕

除已,倍下,并中,从定法。

〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各当以两面之幂连于两方之面,一隅

连于三廉之端,以待复除也。言不尽意,解此要当以棋,乃得明耳。〕

复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者,不如故幂开方,以微数为分也。〕

若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之。讫,开其母以报除。

〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合三母。既开之后一母尚存,故开分

母,求一母,为法,以报除也。〕

若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。

〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既开之

后,一母犹存,故令一母而一,得全面也。

按:“开立方”知,立方适等,求其一面之数。“借一算,步之,超二等”

者,但立方求积,方再自乘,就积开之,故超二等,言千之面十,言百万之面百。

“议所得,以再乘所借算为法,而以除”知,求为方幂,以议命之而除,则立方

等也。“除已,三之为定法”,为积未尽,当复更除,故豫张三面已定方幂为定

法。“复除,折而下”知,三面方幂皆已有自乘之数,须得折、议定其厚薄。据

开平方,百之面十,其开立方,即千之面十。而定法已有成方之幂,故复除之者,

当以千为百,折下一等。“以三乘所得数,置中行”者,设三廉之定长。“复借

一算,置下行”者,欲以为隅方,立方等未有数,且置一算定其位也。“步之,

中超一,下超二”者,上方法长自乘而一折,中廉法但有长,故降一等,下隅法

无面长,故又降一等。“复置议,以一乘中”者,为三廉备幂。“再乘下”,当

令隅自乘为方幂。“皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有幂,

以上议命之而除,去三幂之厚。“除已,倍下、并中,从定法”者,三廉各当以

两面之幂连于两方之面,一隅连于三廉之端,以待复除。其开之不尽者,折下如

前,开方,即合所问。“有分者,通分内子开之。讫,开其母以报除”,“可开

者,并通之积,先合三母;既开之后,一母尚存,故开分母”者,“求一母为法,

以报除。”“若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一”,分

母不可开者,本一母,又以母再乘,令合三母,既开之后,亦一母尚存。故令如

母而一,得全面也。〕

今有积四千五百尺。

〔亦谓立方之尺也。〕

问为立圆径几何?答曰:二十尺。

〔依密率,立圆径二十尺,计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几

何?答曰:一万四千三百尺。

〔依密率,为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕

开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得,开立方除之,即立

圆径。

〔立圆,即丸也。为术者,盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三,圆

囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二,为丸率九,丸居圆囷又四分之三也。

置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积,

九而一,得立方之积。丸径与立方等,故开立方而除,得径也。然此意非也。何

以验之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸,

高二寸。又复横因之,则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马,圆然也。按:合

盖者,方率也,丸居其中,即圆率也。推此言之,谓夫圆囷为方率,岂不阙哉?

以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多,互相通补,是以

九与十六之率偶与实相近,而丸犹伤多耳。观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,

而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正

理。敢不阙疑,以俟能言者。

黄金方寸,重十六两;金丸径寸,重九两,率生于此,未曾验也。《周官·

考工记》:“朅氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之

然后量之。”言炼金使极精,而后分之则可以为率也。令丸径自乘,三而一,开

方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺为句,句自乘幂二十五尺。

倍之得五十尺,以为弦幂,谓平面方五尺之弦也。以此弦为股,亦以五尺为句,

并句股幂得七十五尺,是为大弦幂。开方除之,则大弦可知也。大弦则中立方之

长邪,邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂,三分之一也。今大弦还乘

其幂,即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽,令其幂七十五再自乘之,为面,命

得外立方积,四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘

之,得积一百二十五尺,一百二十五尺自乘,为面,命得积,一万五千六百二十

五尺之面。皆以六百二十五约之,外立方积,六百七十五尺之面,中立方积,二

十五尺之面也。

张衡算又谓立方为质,立圆为浑。衡言质之与中外之浑:六百七十五尺之面,

开方除之,不足一,谓外浑积二十六也;内浑,二十五之面,谓积五尺也。今徽

令质言中浑,浑又言质,则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之

率推以言浑之率也。衡又言:“质,六十四之面;浑,二十五之面。”质复言浑,

谓居质八分之五也。又云:方,八之面;圆,五之面。”圆浑相推,知其复以圆

囷为方率,浑为圆率也,失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疏密

矣。虽有文辞,斯乱道破义,病也。置外质积二十六,以九乘之,十六而一,得

积十四尺八分尺之五,即质中之浑也。以分母乘全内子,得一百一十七。又置内

质积五,以分母乘之,得四十,是谓质居浑一百一十七分之四十,而浑率犹为伤

多也。假令方二尺,方四面,并得八尺也,谓之方周。其中令圆径与方等,亦二

尺也。圆半径以乘圆周之半,即圆幂也。半方以乘方周之半,即方幂也。然则方

周知,方幂之率也;圆周知,圆幂之率也。按:如衡术,方周率八之面,圆周率

五之面也。令方周六十四尺之面,圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘,得径四

尺之面,是为圆周率十之面,而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非,是故

更著此法,然增周太多,过其实矣。

淳风等按:祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率,丸为圆率,乃设新

法。祖暅之开立圆术曰:“以二乘积,开立方除之,即立圆径。其意何也?取

立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉;又合而衡规之,去其前

上之廉。于是立方之棋分而为四,规内棋一,谓之内棋;规外棋三,谓之外棋。

规更合四棋,复横断之。以句股言之,令余高为句,内棋断上方为股,本方之数,

其弦也。句股之法:以句幂减弦幂,则余为股幂。若令余高自乘,减本方之幂,

余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘,即外三棋

之断上幂矣。不问高卑,势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类,

借况以析微。按:阳马方高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂

数亦等焉。夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异。由此观之,规之外三棋旁

蹙为一,即一阳马也。三分立方,则阳马居一,内棋居二可知矣。合八小方成一

大方,合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较

然验矣。置三分之二,以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等数既密,心亦昭晢。张衡放旧,贻哂于后,刘徽

循故,未暇校新。夫岂难哉,抑未之思也。依密率,此立圆积,本以圆径再自乘,

十一乘之,二十一而一,得此积。今欲求其本积,故以二十一乘之,十一而一。

凡物再自乘,开立方除之,复其本数。故立方除之,即丸径也。〕

卷五

○商功(以御功程积实)

今有穿地,积一万尺。问为坚、壤各几何?答曰:为坚七千五百尺;为壤一

万二千五百尺。

术曰:穿地四为壤五,

〔壤谓息土。〕

为坚三,

〔坚谓筑土。〕

为墟四。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕

以穿地求壤,五之;求坚,三之;皆四而一。

〔今有术也。〕

以壤求穿,四之;求坚,三之;皆五而一。以坚求穿,四之;求壤,五之;

皆三而一。

〔淳风等按:此术并今有之义也。重张穿地积一万尺,为所有数,坚率三、

壤率五各为所求率,穿率四为所有率,而今有之,即得。〕

城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

术曰:并上下广而半之,

〔损广补狭。〕

以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。

〔按:此术“并上下广而半之”者,以盈补虚,得中平之广。“以高若深乘

之”,得一头之立幂。“又以袤乘之”者,得立实之积,故为积尺。〕

今有穿地,袤一丈六尺

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