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第5章

九章算术-第5章

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马。今术置羊一、马二、牛四者,通其率以为列衰。〕

今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,

关税百钱。欲以钱数多少衰出之,问各几何?答曰:甲出五十一钱一百九分钱之

四十一;乙出三十二钱一百九分钱之一十二;丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

术曰:各置钱数为列衰,副并为法。以百钱乘未并者,各自为实。实如法得

一钱。

〔淳风等按:此术甲、乙、丙持钱数以为列衰,副并为所有率,未并者各为

所求率,百钱为所有数,而今有之,即得。〕

今有女子善织,日自倍,五日织五尺。问日织几何?答曰:初日织一寸三十

一分寸之十九;次日织三寸三十一分寸之七;次日织六寸三十一分寸之十四;次

日织一尺二寸三十一分寸之二十八;次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

术曰:置一、二、四、八、十六为列衰,副并为法。以五尺乘未并者,各自

为实。实如法得一尺。

今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十

六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之,问各几何?答曰:北乡遣

一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七;西乡遣一百一十

二人一万二千一百七十五分人之四千四;南乡遣一百二十九人一万二千一百七十

五分人之八千七百九。

术曰:各置算数为列衰,

〔淳风等按:三乡算数,约,可半者,为列衰。〕

副并为法。以所发徭人数乘未并者,各自为实。实如法得一人。

〔按:此术,今有之义也。〕

今有禀粟,大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,一十五斗。今有大夫

一人后来,亦当禀五斗。仓无粟,欲以衰出之,问各几何?答曰:大夫出一斗四

分斗之一;不更出一斗;簪袅出四分斗之三;上造出四分斗之二;公士出四分斗

之一。

术曰:各置所禀粟斛,斗数、爵次均之,以为列衰。副并而加后来大夫亦五

斗,得二十以为法。以五斗乘未并者,各自为实。实如法得一斗。

〔禀前五人十五斗者,大夫得五斗,不更得四斗,簪袅得三斗,上造得二斗,

公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫,即与前来大夫同。据前来

大夫已得五斗,故言亦也。各以所得斗数为衰,并得十五,而加后来大夫亦五斗,

凡二十,为法也。是为六人共出五斗,后来大夫亦俱损折。今有术,副并为所有

率,未并者各为所求率,五斗为所有数,而今有之,即得。〕

今有禀粟五斛,五人分之。欲令三人得三,二人得二,问各几何?答曰:三

人,人得一斛一斗五升十三分升之五;二人,人得七斗六升十三分升之十二。

术曰:置三人,人三;二人,人二,为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各

自为实。实如法得一斛。

反衰术曰:列置衰而令相乘,动者为不动者衰。

今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人,共出百钱。欲令高爵出少,以

次渐多,问各几何?答曰:大夫出八钱一百三十七分钱之一百四;不更出一十钱

一百三十七分钱之一百三十;簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二;上造出

二十一钱一百三十七分钱之一百二十三;公士出四十三钱一百三十七分钱之一百

九。

术曰:置爵数,各自为衰,而反衰之。副并为法。以百钱乘未并者,各自为

实。实如法得一钱。

〔以爵次言之,大夫五、不更四。欲令高爵得多者,当使大夫一人受五分,

不更一人受四分。人数为母,分数为子。母同则子齐,齐即衰也。故上衰分宜以

五、四为列焉。今此令高爵出少,则当大夫五人共出一人分,不更四人共出一人

分,故谓之反衰。人数不同,则分数不齐。当令母互乘子。母互乘子,则动者为

不动者衰也。亦可先同其母,各以分母约,其子为反衰。副并为法。以所分乘未

并者,各自为实。实如法而一。〕

今有甲持粟三升,乙持粝米三升,丙持粝饭三升。欲令合而分之,问各几何?

答曰:甲二升一十分升之七;乙四升一十分升之五;丙一升一十分升之八。

术曰:以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰,而反衰之。副并为法。

以九升乘未并者,各自为实。实如法得一升。

〔按:此术,三人所持升数虽等,论其本率,精粗不同。米率虽少,令最得

多;饭率虽多,反使得少。故令反之,使精得多而粗得少。于今有术,副并为所

有率,未并者各为所求率,九升为所有数,而今有之,即得。〕

今有丝一斤,价直二百四十。今有钱一千三百二十八,问得丝几何?答曰:

五斤八两一十二铢五分铢之四。

术曰:以一斤价数为法,以一斤乘今有钱数为实。实如法得丝数。

〔按:此术今有之义,以一斤价为所有率,一斤为所求率,今有钱为所有数,

而今有之,即得。〕

今有丝一斤,价直三百四十五。今有丝七两一十二铢,问得钱几何?答曰:

一百六十一钱三十二分钱之二十三。

术曰:以一斤铢数为法,以一斤价数乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以丝一斤铢数为所有率,价钱为所求率,今

有丝为所有数,而今有之,即得。〕

今有缣一丈,价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸,问得钱几何?答曰:

六百三十三钱五分钱之三。

术曰:以一丈寸数为法,以价钱数乘今有缣寸数为实。实如法得钱数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以缣一丈寸数为所有率,价钱为所求率,今

有缣寸数为所有数,而今有之,即得。〕

今有布一匹,价直一百二十五。今有布二丈七尺,问得钱几何?答曰:八十

四钱八分钱之三。

术曰:以一匹尺数为法,今有布尺数乘价钱为实。实如法得钱数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以一匹尺数为所有率,价钱为所求率,今有

布为所有数,今有之,即得。〕

今有素一匹一丈,价直六百二十五。今有钱五百,问得素几何?答曰:得素

一匹。

术曰:以价直为法,以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以价钱为所有率,五丈尺数为所求率,今有

钱为所有数,今有之,即得。〕

今有与人丝一十四斤,约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两,问得缣几何?

答曰:三十二斤八两。

术曰:以一十四斤两数为法,以一十斤乘今有丝两数为实。实如法得缣数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以一十四斤两数为所有率,一十斤为所求率,

今有丝为所有数,而今有之,即得。〕

今有丝一斤,耗七两。今有丝二十三斤五两,问耗几何?答曰:一百六十三

两四铢半。

术曰:以一斤展十六两为法。以七两乘今有丝两数为实。实如法得耗数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以一斤为十六两为所有率,七两为所求率,

今有丝为所有数,而今有之,即得。〕

今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两。今有干丝一十二斤,问生丝几何?

答曰:一十三斤一十一两十铢七分铢之二。

术曰:置生丝两数,除耗数,余,以为法。

〔馀四百二十两,即干丝率。〕

三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

〔凡所得率,如细则俱细,粗则俱粗,两数相抱而已。故品物不同,如上缣、

丝之比,相与率焉。三十斤凡四百八十两,今生丝率四百八十两,今干丝率四百

二十两,则其数相通。可俱为铢,可俱为两,可俱为斤,,无所归滞也。若然,

宜以所有干丝斤数乘生丝两数为实。今以斤、两错互而亦同归者,使干丝以两数

为率,生丝以斤数为率,譬之异类,亦各有一定之势。

淳风等按:此术,置生丝两数,除耗数,余即干丝之率,于今有术为所有率;

三十斤为所求率,干丝两数为所有数。凡所为率者,细则俱细,粗则俱粗。今有

一斤乘两知,干丝即以两数为率,生丝即以斤数为率,譬之异物,各有一定之率

也。〕

今有田一亩,收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步,问收粟

几何?答曰:八斛四斗四升一十二分升之五。

术曰:以亩二百四十步为法。以六升太半升乘今有田积步为实。实如法得粟

数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以一亩步数为所有率,六升太半升为所求率,

今有田积步为所有数,而今有之,即得。〕

今有取保,一岁价钱二千五百。今先取一千二百,问当作日几何?答曰:一

百六十九日二十五分日之二十三。

术曰:以价钱为法,以一岁三百五十四日乘先取钱数为实。实如法得日数。

〔淳风等按:此术亦今有之义。以价为所有率,一岁日数为所求率,取钱为

所有数,而今有之,即得。〕

今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?答

曰:六钱四分钱之三。

术曰:以月三十日乘千钱为法。

〔以三十日乘千钱为法者,得三万,是为贷人钱三万,一日息三十也。〕

以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。

〔以九日乘今所贷钱为今一日所有钱,于今有术为所有数,息三十为所求率;

三万钱为所有率。此又可以一月三十日约息三十钱,为十分一日,以乘今一日所

有钱为实;千钱为法。为率者,当等之于一也。故三十日或可乘本,或可约息,

皆所以等之也。〕

卷四

○少广(以御积幂方圆)

少广

〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其

广,故曰少广。〕

术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,

〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕

各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆

通而同之。并之为法。

〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘

则算数至繁,故别制此术,从省约。〕

置所求步数,以全步积分乘之为实。

〔此以田广为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法

实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长,

意亦等也。故如法而一,得从步数。〕

实如法而一,得从步。

今有田广一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。

术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田

二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一

十一分步之一十。

术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为

法。置田二百四十

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