九章算术-第12章
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十为所求率，八为所有率，而今有之，即得也。〕
今有客马，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃觉。持衣追及，
与之而还；至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？答曰：七百八十里。
术曰：置四分日之三，除三分日之一，
〔按：此术“置四分日之三，除三分日之一”者，除，其减也。减之余，有
十二分之五，即是主人追客还用日率也。〕
半其余，以为法。
〔去其还，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。是为主人
与客均行用日之率也。〕
副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未觉之
前独行用日之分也。并连此数，得二十四分日之十三，则主人追及前用日之分也。
是为客用日率也。然则主人用日率者，客马行率也；客用日率者，主人马行率也。
母同则子齐，是为客马行率五，主人马行率十三。于今有术，三百里为所有数，
十三为所求率，五为所有率，而今有之，即得也。〕
以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。
〔欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一，
得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四，如客马与主人均行用
日分子五而一，亦得主人马一日行七百八十里也。〕
今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤。问次一尺各重
几何？答曰：末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤
八两。次一尺重四斤。
术曰：令末重减本重，余，即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。
副置，以差率减之，每尺各自为衰。
〔按：此术五尺有四间者，有四差也。今本末相减，余即四差之凡数也。以
四约之，即得每尺之差。以差数减本重，余即次尺之重也。为术所置，如是而已。
今此率以四为母，故令母乘本为衰，通其率也。亦可置末重，以四间乘之，为上
第一衰。以差重率加之，为次下衰也。〕
副置下第一衰，以为法。以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。
〔以下第一衰为法，以本重乘其分母之数，而又反此率乘本重，为实。一乘
一除，势无损益，故惟本存焉。众衰相推为率，则其余可知也。亦可副置末衰为
法，而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回，然是其旧。故就新而言之也。〕
今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？答曰：甲得一钱
六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之
四。
术曰：置钱，锥行衰。
〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，
为一列者也。〕
并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。
〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕
以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。
〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则
得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下
部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有
之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。
并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均
减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为
下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。
实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？
答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十
六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分
升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三
十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。
〔此二率者，各其平率也。〕
上、下率以少减多，余为实。
〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中
间五节半之凡差，故以为实也。〕
置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。
〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半
之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕
下率一升少半升者，下第二节容也。
〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕
今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何
日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。
〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九
至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。
故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：
凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至
之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁
日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕
今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发
长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
术曰：并五日、七日，以为法。
〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日
一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。
谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕
以乙先发二日减七日，
〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕
也。
余，以乘甲日数为实。
〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。
以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。
实如法得一日。
〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至
之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行
五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令
相乘，为二十五分。〕
今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作
瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。
术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。
〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术
“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实
如法，即得也。〕
今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人
一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。
术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒
三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。
〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至
之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于
五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫
飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。—
—实如法而一，得一人日成矢之数也。〕
今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一
百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。
术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱
乘之，为实。实如法得一亩。
〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初
假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数，
同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫
雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。
淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。
并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六
十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕
今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一
人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之
六十六。
术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如
法得一亩。
〔此犹凫雁术也。
淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同
其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种
用二十一人。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治，
故以人数为法除之，即得也。〕
今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满，次一日一满，次二日半一满，
次三日一满，次五日一满。今皆决之，问几何日满池？答曰：七十四分日之十五。
术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。
〔按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，
是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日
五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕
以一日为实，实如法得一日。
〔此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有
二术焉，可随率宜也。〕
其一术：各置日数及满数。
〔其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是五日
二满；次三日一满，次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕
令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。
〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次一日一
满；次二日半满者，是五日再满；次三日一满；次五日一满。此谓列置日数于右
行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，
故并齐以除同，
