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第12章

九章算术-第12章

小说: 九章算术 字数: 每页3500字

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十为所求率,八为所有率,而今有之,即得也。〕

今有客马,日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一,主人乃觉。持衣追及,

与之而还;至家视日四分之三。问主人马不休,日行几何?答曰:七百八十里。

术曰:置四分日之三,除三分日之一,

〔按:此术“置四分日之三,除三分日之一”者,除,其减也。减之余,有

十二分之五,即是主人追客还用日率也。〕

半其余,以为法。

〔去其还,存其往。率之者,子不可半,故倍母,二十四分之五。是为主人

与客均行用日之率也。〕

副置法,增三分日之一。

〔法二十四分之五者,主人往追用日之分也。三分之一者,客去主人未觉之

前独行用日之分也。并连此数,得二十四分日之十三,则主人追及前用日之分也。

是为客用日率也。然则主人用日率者,客马行率也;客用日率者,主人马行率也。

母同则子齐,是为客马行率五,主人马行率十三。于今有术,三百里为所有数,

十三为所求率,五为所有率,而今有之,即得也。〕

以三百里乘之,为实。实如法,得主人马一日行。

〔欲知主人追客所行里者,以三百里乘客用日分子十三,以母二十四而一,

得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四,如客马与主人均行用

日分子五而一,亦得主人马一日行七百八十里也。〕

今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤。问次一尺各重

几何?答曰:末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤

八两。次一尺重四斤。

术曰:令末重减本重,余,即差率也。又置本重,以四间乘之,为下第一衰。

副置,以差率减之,每尺各自为衰。

〔按:此术五尺有四间者,有四差也。今本末相减,余即四差之凡数也。以

四约之,即得每尺之差。以差数减本重,余即次尺之重也。为术所置,如是而已。

今此率以四为母,故令母乘本为衰,通其率也。亦可置末重,以四间乘之,为上

第一衰。以差重率加之,为次下衰也。〕

副置下第一衰,以为法。以本重四斤遍乘列衰,各自为实。实如法得一斤。

〔以下第一衰为法,以本重乘其分母之数,而又反此率乘本重,为实。一乘

一除,势无损益,故惟本存焉。众衰相推为率,则其余可知也。亦可副置末衰为

法,而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回,然是其旧。故就新而言之也。〕

今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?答曰:甲得一钱

六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之

四。

术曰:置钱,锥行衰。

〔按:此术“锥行”者,谓如立锥:初一、次二、次三、次四、次五,各均,

为一列者也。〕

并上二人为九,并下三人为六。六少于九,三。

〔数不得等,但以五、四、三、二、一为率也。〕

以三均加焉,副并为法。以所分钱乘未并者,各自为实。实如法得一钱。

〔此问者,令上二人与下三人等,上、下部差一人,其差三。均加上部,则

得二三;均加下部,则得三三。下部犹差一人,差得三,以通于本率,即上、下

部等也。于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,五钱为所有数,而今有

之,即得等耳。假令七人分七钱,欲令上二人与下五人等,则上、下部差三人。

并上部为十三,下部为十五。下多上少,下不足减上。当以上、下部列差而后均

减,乃合所问耳。此可仿下术:令上二人分二钱半为上率,令下三人分二钱半为

下率。上、下二率以少减多,余为实。置二人、三人,各半之,减五人,余为法。

实如法得一钱,即衰相去也。下衰率六分之五者,丁所得钱数也。〕

今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升。问中间二节欲均容,各多少?

答曰:下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十

六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分

升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三

十九。

术曰:以下三节分四升为下率,以上四节分三升为上率。

〔此二率者,各其平率也。〕

上、下率以少减多,余为实。

〔按:此上、下节各分所容为率者,各其平率。上、下以少减多者,余为中

间五节半之凡差,故以为实也。〕

置四节、三节,各半之,以减九节,余为法。实如法得一升。即衰相去也。

〔按此术法者,上下节所容已定之节,中间相去节数也;实者,中间五节半

之凡差也。故实如法而一,则每节之差也。〕

下率一升少半升者,下第二节容也。

〔一升少半升者,下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕

今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问何

日相逢?答曰:三日十六分日之十五。

术曰:并日数为法,日数相乘为实,实如法得一日。

〔按:此术置凫七日一至,雁九日一至。齐其至,同其日,定六十三日凫九

至,雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者,是为共至。并齐以除同,即得相逢日。

故“并日数为法”者,并齐之意;“日数相乘为实”者,犹以同为实也。一曰:

凫飞日行七分至之一,雁飞日行九分至之一。齐而同之,凫飞定日行六十三分至

之九,雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分,凫日行九分,雁

日行七分也。并凫、雁一日所行,以除南北相去,而得相逢日也。〕

今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安。今乙发已先二日,甲乃发

长安,问几何日相逢?答曰:二日十二分日之一。

术曰:并五日、七日,以为法。

〔按:此术“并五日、七日为法”者,犹并齐为法。置甲五日一至,乙七日

一至。齐而同之,定三十五日甲七至,乙五至。并之为十二至者,用三十五日也。

谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至,当除日,故以为法也。〕

以乙先发二日减七日,

〔“减七日”者,言甲、乙俱发,今以发为始发之端,于本道里则余分也。〕

也。

余,以乘甲日数为实。

〔七者,长安去齐之率也;五者,后发相去之率也。今问后发,故舍七用五。

以乘甲五日,为二十五日。言甲七至,乙五至,更相去,用此二十五日也。

实如法得一日。

〔一日甲行五分至之一,乙行七分至之一。齐而同之,甲定日行三十五分至

之七,乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分,甲日行七分,乙日行

五分也。今乙先行发二日,已行十分,余,相去二十五分。故减乙二日,余,令

相乘,为二十五分。〕

今有一人一日为牝瓦三十八枚,一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作

瓦,牝、牡相半,问成瓦几何?答曰:二十五枚少半枚。

术曰:并牝、牡为法,牝、牡相乘为实,实如法得一枚。

〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并,犹如凫、雁日飞相并也。按:此术

“并牝、牡为法”者,并齐之意;“牝、牡相乘为实”者,犹以同为实也。故实

如法,即得也。〕

今有一人一日矫矢五十,一人一日羽矢三十,一人一日摐矢十五。今令一人

一日自矫、羽、摐,问成矢几何?答曰:八矢少半矢。

术曰:矫矢五十,用徒一人;羽矢五十,用徒一人太半人;摐矢五十,用徒

三人少半人。并之,得六人,以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。

〔按:此术言成矢五十,用徒六人,一日工也。此同工其作,犹凫、雁共至

之类,亦以同为实,并齐为法。可令矢互乘一人为齐,矢相乘为同。今先令同于

五十矢。矢同则徒齐,其归一也。——以此术为凫雁者,当雁飞九日而一至,凫

飞九日而一至七分至之二。并之,得二至七分至之二,以为法。以九日为实。—

—实如法而一,得一人日成矢之数也。〕

今有假田,初假之岁三亩一钱,明年四亩一钱,后年五亩一钱。凡三岁得一

百。问田几何?答曰:一顷二十七亩四十七分亩之三十一。

术曰:置亩数及钱数。令亩数互乘钱数,并,以为法。亩数相乘,又以百钱

乘之,为实。实如法得一亩。

〔按:此术令亩互乘钱者,齐其钱;亩数相乘者,同其亩。同于六十,则初

假之岁得钱二十,明年得钱十五,后年得钱十二也。凡三岁得钱一百,为所有数,

同亩为所求率,四十七钱为所有率,今有之,即得也。齐其钱,同其亩,亦如凫

雁术也。于今有术,百钱为所有数,同亩为所求率,并齐为所有率。

淳风等按:假田六十亩,初岁得钱二十,明年得钱十五,后年得钱十二。

并之,得钱四十七。是为得田六十亩,三岁所假。于今有术,百钱为所有数,六

十亩为所求率,四十七为所有率,而今有之,即合问也。〕

今有程耕,一人一日发七亩,一人一日耕三亩,一人一日耰种五亩。今令一

人一日自发、耕、耰种之,问治田几何?答曰:一亩一百一十四步七十一分步之

六十六。

术曰:置发、耕、耰亩数,令互乘人数,并,以为法。亩数相乘为实。实如

法得一亩。

〔此犹凫雁术也。

淳风等按:此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者,齐其人;亩数相乘者,同

其亩。故并齐为法,以同为实。计田一百五亩,发用十五人,耕用三十五人,种

用二十一人。并之,得七十一工。治得一百五亩,故以为实。而一人一日所治,

故以人数为法除之,即得也。〕

今有池,五渠注之。其一渠开之,少半日一满,次一日一满,次二日半一满,

次三日一满,次五日一满。今皆决之,问几何日满池?答曰:七十四分日之十五。

术曰:各置渠一日满池之数,并,以为法。

〔按:此术其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,

是一日五分满之二也;次三日满者,是一日三分满之一也;次五日满者,是一日

五分满之一也。并之,得四满十五分满之十四也。〕

以一日为实,实如法得一日。

〔此犹矫矢之术也。先令同于一日,日同则满齐。自凫雁至此,其为同齐有

二术焉,可随率宜也。〕

其一术:各置日数及满数。

〔其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,是五日

二满;次三日一满,次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕

令日互相乘满,并,以为法。日数相乘为实。实如法得一日。

〔亦如凫雁术也。按:此其一渠少半日满池者,是一日三满池也;次一日一

满;次二日半满者,是五日再满;次三日一满;次五日一满。此谓列置日数于右

行,及满数于左行。以日互乘满者,齐其满;日数相乘者,同其日。满齐而日同,

故并齐以除同,

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